http://maralboran.org/wikipedia/index.php/Contrastes_de_hip %C3%B3tesis_sobre_medias_y_proporciones
www.geociencias.unam.mx/~ramon/Estadistica/Clase5b.pdf
http://es.wikibooks.org/wiki/T%C3%A9cnicas_Estad
%C3%ADsticas_para_las_Ciencias_de_la_Documentaci%C3%B3n/Inferencia/Contraste_de_hip%C3%B3tesis
http://www.stadcenterecuador.com/contenidos/estadistica-inferencial.html?start=2
http://www.slideshare.net/LuisAngelVanegas/planteamiento-de-hipotesis-para-una-poblacion-media
http://www.estadisticafacil.com/
http://www.youtube.com/watch?hl=es&v=cSTgNQ9tU90
martes, 20 de septiembre de 2011
ejercicio 8
La Concejalía de la Juventud de un Ayuntamiento maneja el dato de que la edad a la que los hijos se independizan de sus padres es una variable normal con media 29 años y desviación típica 3 años. Aunque la desviación típica no plantea dudas, si se sospecha que la media ha descendido, sobre todo por la politica de ayuda al empleo que ha llevado a cabo el Ayuntamiento. Así de un estudio reciente sobre 100 jóvenes que se acaban de independizar, se ha obtenido una media de 28,1 años de edad.
- Con un nivel de significación del 1%, ¿ puede defenderse que la edad media no ha disminuido, frente a que si lo ha hecho como parecen indicar los datos? Plantea el contraste o test de hipótesis y resuélvelo.
- Explica en el contexto del problema, en qué consisten cada uno de los errores de tipo I y II.
ejercicio 7
Se desea estimar la proporción p de individuos daltónicos de una población a través del porcentaje observado en una muestra aleatoria de individuos de tamaño n.
- Si el porcentaje de individuos daltónicos en la muestra es igual al 30%, calcula el valor de n para que, con un nivel de confianza dde 0,95, el error cometido en la estimación sea inferior al 3,1%.
- Si el tamaño de la muestra es de 64 individuos y el porcentaje de individuos daltónicos en la muestra es del 35%, determina, usando un nivel de significación del 1%, el correspondiente intervalo de confianza para la proporción de daltónicos de la población.
ejercicio 6
En una determinada población juvenil, el peso, en Kgs sigue una distribución normal N(50,10).
Si se extrae una muestra aleatoria de 25 jóvenes y para un nivel de significación del 5%, ¿ en qué condiciones se rechazaría la hipótesis de que la media de la población es de 50 kgs ?
Si se extrae una muestra aleatoria de 25 jóvenes y para un nivel de significación del 5%, ¿ en qué condiciones se rechazaría la hipótesis de que la media de la población es de 50 kgs ?
ejercicio 5
El control de calidad una fábrica de pilas y baterías sospecha que hubo defectos en la producción de un modelo de batería para teléfonos móviles, bajando su tiempo de duración. Hasta ahora el tiempo de duración en conversación seguía una distribución normal con media 300 minutos y desviación típica 30 minutos. Sin embargo, en la inspección del último lote producido, antes de enviarlo al mercado, se obtuvo que de una muestra de 60 baterías el tiempo medio de duración en conversación fue de 290 minutos. Suponiendo que ese tiempo sigue siendo Normal con la misma desviación típica:
¿Se puede concluir que las sospechas del control de calidad son ciertas a un nivel de significación del 2%?
1 Enunciamos las hipótesis nula y alternativa:
H0 : µ ≥ 300
H1 : µ < 300
2Zona de aceptación
α = 0.02; 1- α = 0. 98; P(1.96)= 0. 98; zα = 1.96 .
Determinamos el intervalo de confianza:
3Verificación.
µ = 290
4Decisión
Rechazamos la hipótesis nula H0. Con un nivel de significación del 2%.
ejercicio 4
Una marca de nueces afirma que, como máximo, el 6% de las nueces están vacías. Se eligieron 300 nueces al azar y se detectaron 21 vacías.
1.Con un nivel de significación del 1%, ¿se puede aceptar la afirmación de la marca?
1 Enunciamos las hipótesis nula y alternativa:
H0 : p ≤ 0.06
H1 : p >0.06
2Zona de aceptación
α = 0.01 zα = 2.33.
Determinamos el intervalo de confianza:
3Verificación.
4Decisión
Aceptamos la hipótesis nula H0. Con un nivel de significación del 1%.
2.Si se mantiene el porcentaje muestral de nueces que están vacías y 1-α = 0.95, ¿qué tamaño muestral se necesitaría para estimar la proporción de nueces con un error menor del 1% por ciento?
1 - α = 0, 9 5 z α/2 = 1, 96
ejercicio 3
Un sociólogo ha pronosticado, que en una determinada ciudad, el nivel de abstención en las próximas elecciones será del 40% como mínimo. Se elige al azar una muestra aleatoria de 200 individuos, con derecho a voto, 75 de los cuales estarían dispuestos a votar. Determinar con un nivel de significación del 1%, si se puede admitir el pronóstico.
1. Enunciamos las hipótesis nula y alternativa:
H0 : μ ≥ 0.40 La abstención será como mínimo del 40%.
H1 : μ < 0.40 La abstención será como máximo del 40%;
2. Zona de aceptación
Para α = 0.01, le corresponde un valor crítico: zα = 2.33.
Determinamos el intervalo de confianza para la media:
3.Verificación.
4.Decisión
Aceptamos la hipótesis nula H0. Podemos afirmar, con un nivel de significación del 1%, que la La abstención será como mínimo del 40%.
ejercicio 2
Una organización de consumidores está interesada en comprobar que el peso
medio de una determinada marca de quesos es de 1000 gr. Para verificar esto, eligen al
azar cinco quesos, obteniendo los siguientes pesos 992, 998, 990, 999, 1001. ¿Puede
mantenerse la hipótesis de que la media es de 1000 gramos con un nivel de
significación de 0,05?
Solución:
1) Establecer sin ambigüedad la hipótesis nula y la alternativa.
Ho: μ=1000 gr. H1: μ<1000
2) Nivel de significación o probabilidad de error tipo I α=0,05
3) Estadístico pivote: d=`x- m0 / sn-1 /√n Î t Student con 4 grados de libertad
4) Región de aceptación:
Como la hipótesis alternativa es bilateral izquierda, la región de rechazo está a la
izquierda de la gráfica de la t-Student, con un valor de probabilidad 0,05. Por tanto hay
que buscar en la tabla de la t-Student con 4 grados de libertad el valor de t que deja a la
derecha un valor de probabilidad de 0,95, que se corresponde con -2,1318
Así pues el intervalo de aceptación es (-2,1318, +∞)
5) Medida de discrepancia:
d=`x- m0 / sn-1 /√n = 996- 1000/ 4.474/√5= -1.89
6º)conclusión: Como el valor del estadístico -1,89 está dentro de la
Región de aceptación, podemos aceptar la hipótesis nula, es decir que la media sea de
1000 gr.
ejercicio 1
Se sabe que la desviación típica de las notas de cierto examen de Matemáticas es 2,4. Para una muestra de 36 estudiantes se obtuvo una nota media de 5,6. ¿Sirven estos datos para confirmar la hipótesis de que la nota media del examen fue de 6, con un nivel de confianza del 95%?
1. Enunciamos las hipótesis nula y alternativa:
H0 : μ = 6 La nota media no ha variado.
H1 : μ ≠ 6 La nota media ha variado.
2. Zona de aceptación
Para α = 0.05, le corresponde un valor crítico: zα/2 = 1.96.
Determinamos el intervalo de confianza para la media:
(6-1,96 · 0,4 ; 6+1,96 · 0,4) = (5,22 ; 6,78)
3. Verificación.
Valor obtenido de la media de la muestra: 5,6 .
4. Decisión
Aceptamos la hipótesis nula H0, con un nivel de significación del 5%.
teoria de hipotesis
La hipótesis representa un elemento fundamental en el proceso de investigación. Luego de formular un problema, el investigador enuncia la hipótesis, que orientará el proceso y permitirá llegar a conclusiones concretas del proyecto que recién comienza.
La hipótesis bien formulada tiene como función encausar el trabajo que se desea llevar al efecto. Hayman (1974) cita: además que aclaran acerca de cuáles son las variables, que han de analizarse y las relaciones que existen entre ellas, y permiten derivar los objetivos del estudio constituyéndose en la base de los procedimientos de investigación.
Tamayo (1989), señala que éstas se constituyen en un eslabón imprescindible entre la teoría y la investigación que llevan al descubrimiento de un hecho. Las razones anteriormente esgrimidas hacen suponer que éstas ocupan un lugar primordial en la investigación al proporcionar los elementos necesarios que permitirán llegar a los datos necesarios que permitirán llegar a los datos y resolver el problema planteado.
Es una proposición que establece relaciones, entre los hechos; para otros es una posible solución al problema; otros más sustentan que la hipótesis no es más otra cosa que una relación entre las variables, y por último, hay quienes afirman que es un método de comprobación.
La hipótesis como proposición que establece relación entre los hechos:
Una hipótesis es el establecimiento de un vínculo entre los hechos que el investigador va aclarando en la medida en que pueda generar explicaciones lógicas del porqué se produce este vínculo.
Es una proposición respecto a algunos elementos empíricos y otros conceptos y sus relaciones mutuas, que emerge más allá de los hechos y las experiencias conocidas, con el propósito de llegar a una mayor comprensión de los mismos.
La hipótesis como una posible solución del problema:
La hipótesis no es solamente la explicación o comprensión del vínculo que se establece entre los elementos inmersos en un problema, es también el planteamiento de una posible solución al mismo.
IMPORTANCIA DE LA HIPÓTESIS
Las hipótesis son el punto de enlace entre la teoría y la observación. Su importancia en que dan rumbo a la investigación sugerir los pasos y procedimientos que deben darse en la búsqueda del conocimiento.
Cuando la hipótesis de investigación ha sido bien elaborada, y en ella se observa claramente la relación o vínculo entre dos o más variables, es factible que el investigador pueda:
· Elaborar el objetivo, o conjunto de objetivos que desea alcanzar en el desarrollo de la investigación
· Seleccionar el método, los instrumentos y las técnicas de investigación acordes con el problema que se desea resolver, y
· Seleccionar los recursos, tanto humanos como materiales, que se emplearán para llevar a feliz término la investigación planteada.
Cuando se describe su importancia, se plantean algunas de las funciones que ellas cumplen, porque además de ser guías en el proceso de investigación, también pueden servir para indicar que observaciones son pertinentes y cuáles no lo son con respecto al problema planteado.
La hipótesis puede señalar las relaciones o vínculos existentes entre las variables y cuáles de ellas se deben estudiar, sugieren una explicación en ciertos hechos y orientan la investigación en otros, sirve para establecer la forma en que debe organizarse eficientemente el análisis de los datos. Hernández agrega que entre otras funciones, su objetivo principal, es de aprobar y sugerir teorías.
CLASIFICACIÓN DE LA HIPÓTESIS
La hipótesis nula:
Representada por Ho, es la afirmación sobre una o más características de poblaciones que al inicio se supone cierta (es decir, la "creencia a priori").
La hipótesis alternativa:
Representada por H1, es la afirmación contradictoria a Ho, y ésta es la hipótesis del investigador.
La hipótesis nula se rechaza en favor de la hipótesis alternativa, sólo si la evidencia muestral sugiere que Ho es falsa. Si la muestra no contradice decididamente a Ho, se continúa creyendo en la validez de la hipótesis nula. Entonces, las dos conclusiones posibles de un análisis por prueba de hipótesis son rechazar Ho o no rechazar Ho.
PRUEBA DE UNA HIPÓTESIS ESTADÍSTICA
La estadística inferencial es el proceso de usar la información de una muestra para describir el estado de una población. Sin embargo es frecuente que usemos la información de una muestra para probar un reclamo o conjetura sobre la población. El reclamo o conjetura se refiere a una hipótesis. El proceso que corrobora si la información de una muestra sostiene o refuta el reclamo se llama prueba de hipótesis.
Hipótesis y Niveles de Significancia
En la prueba de hipótesis se pone a prueba un reclamo hecho sobra la naturaleza de una población a base de la información de una muestra. El reclamo se llama hipótesis estadística.
Por ejemplo, la premisa formulada por un productor de baterías para autos de que su batería dura en promedio 48 meses, es una hipótesis estadística porque el manufacturero no inspecciona la vida de cada batería que él produce.
Si surgieran quejas de parte de los clientes, entonces se pone a prueba el reclamo del manufacturero. La hipótesis estadística sometida a prueba se llama la hipótesis nula, y se denota como H0.
ERROR TIPO I:
También denominado error de tipo alfa (α)[] o falso positivo, es el error que se comete cuando el investigador no acepta la hipótesis nula (Ho) siendo ésta verdadera en la población. Es equivalente a encontrar un resultado falso positivo, porque el investigador llega a la conclusión de que existe una diferencia entre las hipótesis cuando en realidad no existe. Se relaciona con el nivel de significancia estadística.La hipótesis de la que se parte H0 aquí es el supuesto de que la situación experimental presentaría un «estado normal». Si no se advierte este «estado normal», aunque en realidad existe, se trata de un error estadístico tipo I. Algunos ejemplos para el error tipo I serían:
- Se considera que el paciente está enfermo, a pesar de que en realidad está sano; hipótesis nula: El paciente está sano.
- Se declara culpable al acusado, a pesar de que en realidad es inocente; hipótesis nula: El acusado es inocente.
- No se permite el ingreso de una persona, a pesar de que tiene derecho a ingresar; hipótesis nula: La persona tiene derecho a ingresar.
EL ERROR TIPO II:
Se define como la aceptación de la hipótesis nula cuando ésta es falsa.
Por tanto, al probar cualquier hipótesis estadística, existen cuatro situaciones diferentes que determinan si la decisión final es correcta o errónea.
Decisión | Ho es verdadera | Ho es falsa |
Aceptar Ho | No hay error | Error tipo II o β |
Rechazar Ho | Error tipo I ó α | No hay error |
1. Los errores tipo I y tipo II están relacionados. Una disminución en la probabilidad de uno por lo general tiene como resultado un aumento en la probabilidad del otro.
2. El tamaño de la región crítica, y por tanto la probabilidad de cometer un error tipo I, siempre se puede reducir al ajustar el o los valores críticos.
3. Un aumento en el tamaño muestral n reducirá α y β de forma simultánea.
4. Si la hipótesis nula es falsa, β es un máximo cuando el valor real del parámetro se aproxima al hipotético. Entre más grande sea la distancia entre el valor real y el valor hipotético, será menor β
CONTRASTES DE HIPÓTESIS
Una vez realizado el contraste de hipótesis, se habrá optado por una de las dos hipótesis, la hipótesis nula o base o la hipótesis alternativa, y la decisión escogida coincidirá o no con la que en realidad es cierta. Se pueden dar los cuatro casos que se exponen en el siguiente cuadro: es cierta |  es cierta | |
Se escogió | No hay error (verdadero positivo) | Error de tipo II (β o falso negativo) |
Se escogió | Error de tipo I (α o falso positivo) | No hay error (verdadero negativo) |
Si la probabilidad de cometer un error de tipo I está unívocamente determinada, su valor se suele denotar por la letra griega α, y en las mismas condiciones, se denota por β la probabilidad de cometer el error de tipo II, esto es:
En este caso, se denomina Potencia del contraste al valor 1-β, esto es, a la probabilidad de escoger cuando esta es cierta
.
Cuando es necesario diseñar un contraste de hipótesis, sería deseable hacerlo de tal manera que las probabilidades de ambos tipos de error fueran tan pequeñas como fuera posible. Sin embargo, con una muestra de tamaño prefijado, disminuir la probabilidad del error de tipo I, α, conduce a incrementar la probabilidad del error de tipo II, β.
Usualmente, se diseñan los contrastes de tal manera que la probabilidad α sea el 5% (0,05), aunque a veces se usan el 10% (0,1) o 1% (0,01) para adoptar condiciones más relajadas o más estrictas. El recurso para aumentar la potencia del contraste, esto es, disminuir β, probabilidad de error de tipo II, es aumentar el tamaño muestral, lo que en la práctica conlleva un incremento de los costes del estudio que se quiere realizar.NIVELES DE SIGNIFICANCIA
Al contrastar una cierta hipótesis, la máxima probabilidad con la que estamos dispuesto a correr el riesgo de cometerán error de tipo I, se llama nivel de significación.
Esta probabilidad, denota a menudo por ser, suele especificar antes de tomar la muestra, de manera que los resultados obtenidos no influyan en nuestra elección.
En la práctica, es frecuente un nivel de significación de 0,05 ó 0,01, si bien se une otros valores. Si por ejemplo se escoge el nivel de significación 0,05 (ó 5%) al diseñar una regla de decisión, entonces hay unas cinco (05) oportunidades entre 100 de rechazar la hipótesis cuando debiera haberse aceptado; Es decir, tenemos un 95% de confianza de que hemos adoptado la decisión correcta. En tal caso decimos que la hipótesis ha sido rechazada al nivel de significación 0,05, lo cual quiere decir que tal hipótesis tiene una probabilidad 0,05 de ser falsa.
PRUEBA DE UNO Y DOS EXTREMOS.
Cuando estudiamos ambos valores estadísticos es decir, ambos lados de la media lo llamamos prueba de uno y dos extremos o contraste de una y dos colas.
Con frecuencia no obstante, estaremos interesados tan sólo en valores extremos a un lado de la media (o sea, en uno de los extremos de la distribución), tal como sucede cuando se contrasta la hipótesis de que un proceso es mejor que otro (lo cual no es lo mismo que contrastar si un proceso es mejor o peor que el otro) tales contrastes se llaman unilaterales, o de un extremo. En tales situaciones, la región crítica es una región situada a un lado de la distribución, con área igual al nivel de significación.
CURVA CARACTERÍSTICA OPERATIVA Y CURVA DE POTENCIA
Podemos limitar un error de tipo I eligiendo adecuadamente el nivel de significancia. Es posible evitar el riesgo de cometer el error tipo II simplemente no aceptando nunca la hipótesis, pero en muchas aplicaciones prácticas esto es inviable. En tales casos, se suele recurrir a curvas características de operación o curvas de potencia que son gráficos que muestran las probabilidades de error de tipo II bajo diversas hipótesis. Proporcionan indicaciones de hasta qué punto un test dado nos permitirá evitar un error de tipo II; es decir, nos indicarán la potencia de un test a la hora de prevenir decisiones erróneas. Son útiles en el diseño de experimentos por que sugieren entre otras cosas el tamaño de muestra a manejar.
PRUEBAS DE HIPÓTESIS PARA LA MEDIA
Debido a la dificultad de explicar este tema se enfocará un problema basado en un estudio en una fábrica de llantas.
En este problema la fábrica de llantas tiene dos turnos de operarios, turno de día y turno mixto. Se selecciona una muestra aleatoria de 100 llantas producidas por cada turno para ayudar al gerente a sacar conclusiones de cada una de las siguientes preguntas:
1 ¿Es la duración promedio de las llantas producidas en el turno de día igual a 25 000 millas?
2 ¿Es la duración promedio de las llantas producidas en el turno mixto menor de 25 000 millas?
3 ¿Se revienta más de un 8% de las llantas producidas por el turno de día antes de las 10 000 millas?
Prueba De Hipótesis Para La Media
En la fábrica de llantas la hipótesis nula y alternativa para el problema se plantearon como sigue:
Ho: μ = 25 000
H1: μ ≠ 25 000
Si se considera la desviación estándar σ las llantas producidas en el turno de día, entonces, con base en el teorema de limite central, la distribución en el muestreo de la media seguiría la distribución normal, y la prueba estadística que está basada en la diferencia entre la media de la muestra y la media μ hipotética se encontrara como sigue:
Si el tamaño de la región α de rechazo se estableciera en 5% entonces se podrían determinar los valores críticos de la distribución. Dado que la región de rechazo está dividida en las dos colas de la distribución, el 5% se divide en dos partes iguales de 2.5%.
Dado que ya se tiene la distribución normal, los valores críticos se pueden expresar en unidades de desviación. Una región de rechazo de 0.25 en cada cola de la distribución normal, da por resultado un área de .475 entre la media hipotética y el valor crítico. Si se busca está área en la distribución normal, se encuentra que los valores críticos que dividen las regiones de rechazo y no rechazo son + 1.96 y - 1.96
Por tanto, la regla para decisión sería:
Rechazar Ho si Z > + 1.96
O si Z < - 1.96
De lo contrario, no rechazar Ho
El uso y formulación correcta de las hipótesis le permiten al investigador poner a prueba aspectos de la realidad, disminuyendo la distorsión que pudieran producir sus propios deseos o gustos. Pueden ser sometidas a prueba y demostrarse como probablemente correctas o incorrectas sin que interfieran los valores o creencias del individuo.
Tipos de error en un contraste de hipótesis:
Al realizar un contraste se puede cometer uno de los dos errores siguientes:
- Error tipo I, se rechaza la hipótesis nula H0 cuando es cierta
- Error tipo II, se acepta la hipótesis nula H0 cuando es falsa
Se denomina nivel de significación de un contraste a la probabilidad de cometer un error tipo I, y se denota Por tanto:
Las situaciones posibles que pueden plantearse en un contraste de hipótesis están recogidas en la tabla siguiente:
Situación real: H0 es cierta H0 es falsa Decisión: ACEPTAR H0 CORRECTO ERROR II RECHAZAR H0 ERROR I CORRECTO |
Establecer el nivel de significación equivale a decidir de antemano la probabilidad máxima que se está dispuesto a asumir de rechazar la hipótesis nula cuando es cierta. El nivel de significación lo elige el experimentador y tiene por ello la ventaja de tomarlo tan pequeño como se desee (normalmente se toma = 0.05, 0.01 o 0.001).
La selección de un nivel de significación conduce a dividir en dos regiones el conjunto de posibles valores del estadístico de contraste:
- La región de Rechazo, con probabilidad , bajo H0
- La región de Aceptación, con probabilidad
Toma de decisiones en un contraste estadístico.
Si el estadístico de contraste toma un valor perteneciente a la región de aceptación, entonces no existen evidencias suficientes para rechazar la hipótesis nula con un nivel de significación y el contraste se dice que estadísticamente no es significativo.
Si, por el contrario, el estadístico cae en la región de rechazo entonces se asume que los datos no son compatibles con la hipótesis nula y se rechaza a un nivel de significación. En este supuesto se dice que el contraste es estadísticamente significativo.
Por tanto, resolver un contraste estadístico es calcular la región de aceptación y la región de rechazo y actuar según un criterio de decisión basado en que una vez obtenida la muestra = , se calcula el estadístico del contraste .
Según la forma de la región de rechazo, un contraste de hipótesis, se denomina:
- Contraste unilateral o contraste de una cola: H0 : > 0, H1 : < 0
Es el contraste de hipótesis cuya región de rechazo está formada por una cola de la distribución del estadístico de contraste, situada bajo H0.
- Contraste bilateral o contraste de dos colas: H0 : = 0, H1 : 0
Es el contraste de hipótesis cuya región de rechazo está formada por las dos colas de la distribución del estadístico de contraste, situada bajo H0.
Pasos para la realización de un contraste de hipótesis.
1. Establecimiento de las hipótesis nula y alternativa.
- La hipótesis nula H0 será aceptada si los datos de la muestra no evidencian que es falsa.
- La hipótesis alternativa H1 es la afirmación que se acepta si se rechaza la hipótesis nula.
2. Determinación del criterio de contraste.
Se debe especificar el nivel de significación, el tipo de distribución y los valores críticos. Al tomar una decisión respecto a una hipótesis, existen las cuatro situaciones posibles que se indicaron en la tabla anterior.
3. Cálculo del estadístico de prueba.
El estadístico de prueba es un valor obtenido a partir de la información de la muestra para compararlo con el criterio de contraste y rechazar o aceptar la hipótesis. Depende de la distribución que se utilice, de modo que los más utilizados en el ámbito de laboratorios para la media y la desviación estándar de la muestra son los siguientes:
4. Toma de la decisión y conclusiones de tipo estadístico.
Una regla de decisión supone establecer las condiciones sobre las cuales la hipótesis nula es rechazada o no rechazada.
- Si el estadístico de prueba queda dentro de la zona crítica, la hipótesis nula deberá ser aceptada.
- Si el estadístico de prueba queda fuera de la zona crítica, la hipótesis nula deberá ser rechazada.
Hipótesis compuestas:
Aunque seguramente todavía no es el contraste de hipótesis que realmente interesa a la asociación ADG, por razones didácticas vamos a suponer que se pretende dirimir simplemente si es aceptable la media propuesta en la bibliografía. Las hipótesis que es necesario verificar serán entonces:
H0: μ = 7
H1: μ ≠ 7
Ya no es consistente mantener una región crítica basada sólo en la cola derecha de la distribución, como en el planteamiento original de este caso (ya que se contrasta una hipótesis simple contra otra simple).
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